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集合論Set theory

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1/24/2014 8:27:05 AM

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集合論
（英文：Set theory）或稱集論，是研究集合（由一堆抽象物件（英語：Abstract object）構成的整體）的數學理論，包含集合和元素（或稱為成員）關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中，集合論提供了要如何描述數學物件（英語：mathematical objects）的語言。集合論和邏輯與一階邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。

現代集合論的研究是在1870年代由俄國數學家康托爾及德國數學家理察·戴德金的樸素集合論開始。在樸素集合論中，集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念，沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生許多悖論（英語：Paradoxes of set theory）後，二十世紀初期提出了許多公理化集合論，其中最著名的是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論，簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員，而是先規範可以描述其性質的一些公理。

集合論常被視為數學基礎之一，特別是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論。除了其基礎的作用外，集合論也是數學理論中的一部份，當代的集合論研究有許多離散的主題，從實數線的結構到大基數的一致性等。

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.. 在1/24/2014 12:11:54 PM的回覆：
對集合論的異議
一開始，有些數學家反對（英語：Controversy over Cantor's theory）將集合論當做數學基礎，認為這只是一場含有「奇幻元素」的遊戲。對集合論最常見的反對意見來自數學結構主義者（像是利奧波德·克羅內克），他們認為數學多少都和計算有些關係的，但樸素集合論卻加入了非計算性的元素。

埃里特·比修普（英語：Errett Bishop）駁斥集合論是「上帝的數學，應該留給上帝」。而且，路德維希·維根斯坦特別對無限的操作有疑問，這也和策梅羅-弗蘭克爾集合論有關。維根斯坦對於數學基礎的觀點曾被保羅·貝奈斯（英語：Paul Bernays）所批評，且被克里斯平·賴特（英語：Crispin_Wright）等人密切研究過。

拓撲斯理論曾被認為是傳統公理化集合論的另一種選擇。拓樸斯理論可以被用來解釋各種集合集的替代方案，如數學結構主義、模糊集合論、有限集合論和可計算集合論等。

回覆	.. 在1/26/2014 6:19:05 PM的回覆：康托(爾)Cantor

回覆	.. 在1/26/2014 6:23:02 PM的回覆：人類，透過經驗與理性所發展出來的知識(與認識) 讓人為之驚嘆！ ---------------- 這裡借用羅素Russell的一句話：我們知道的非常少，而我們能知道了這麼多卻也令人驚奇！更令人稱奇的是，這麼一點點的知識竟能給我們那麼大的力量。 (羅素，相對論ABC)

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.. 在1/26/2014 6:32:19 PM的回覆：
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波粒二象性
在量子力學裏，微觀粒子有時會顯示出波動性（這時粒子性較不顯著），有時又會顯示出粒子性（這時波動性較不顯著），在不同條件下分別表現出波動或粒子的性質。這種量子行為稱為波粒二象性（英語：wave-particle duality），是微觀粒子的基本屬性之一。

波粒二象性指的是微觀粒子顯示出的波動性與粒子性。這是量子力學的基要概念，是專門針對古典概念無法完整描述量子物體的物理行為而提出的假說。標準的量子力學詮釋將這佯謬解釋為宇宙的基礎性質，而其它種詮釋可能會有標新立異的論述。本條目主要採用的是學術界廣泛認可的哥本哈根詮釋來解釋量子行為。採用這種詮釋，波粒二象性是更廣義的互補性概念的一方面，即量子現象可以用一種方法或另外一種共軛方法來觀察，但不能同時用兩種相互共軛的方法來觀察。

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